Matemática básica Ejemplos

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = z^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$4 u^{2} - 5 u + 9 = 0$

$u = z^{2}$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 5$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3

Resta $144$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 119$ como $- 1 (119)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (119)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Paso 6

Sustituye el valor real de $u = z^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Paso 7

Resuelve la primera ecuación para $z$ .

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$

Paso 8.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 8.2.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.2.3

Multiplica $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.2.4.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 8.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 8.2.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 8.2.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.2.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.2.4.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.2.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 8.2.4.7.5

Evalúa el exponente.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 8.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 8.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 9

Resuelve la segunda ecuación para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$z^{2} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Paso 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$

Paso 10.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 10.3.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 10.3.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 10.3.3

Multiplica $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 10.3.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 10.3.4.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 10.3.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 10.3.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 10.3.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 10.3.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 10.3.4.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.3.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.3.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 10.3.4.7.5

Evalúa el exponente.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 10.3.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 10.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 10.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 10.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 10.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Paso 11

La solución a $4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$ es $z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$ .

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$